Biết \[F\left( x \right) = \sin x{e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right).{e^x}\]. Biết hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\]. Tìm nguyên hàm của hàm số \[f'\left( x \right).{e^x}\].

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[F'\left( x \right) = {\left( {\sin x{e^x}} \right)^\prime } = \left( {\sin x + \cos x} \right){e^x} = f\left( x \right).{e^x}\]

Suy ra \[f\left( x \right) = \sin x + \cos x.\]

Khi đó \[f'\left( x \right).{e^x} = \left( {\cos x - \sin x} \right){e^x}\]

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x - \sin x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( { - \sin x - \cos x} \right)dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]

Ta có: \[I = \int {\left( {\cos x - \sin x} \right){e^x}dx = \left( {\cos x - \sin x} \right){e^x} + \int {\left( {\sin x + \cos x} \right){e^x}dx} } \] (1)

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x + \sin x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( { - \sin x + \cos x} \right)dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]

Ta có: \[\int {\left( {\sin x + \cos x} \right){e^x}} dx = \left( {\cos x + \sin x} \right){e^x} - \int {\left( {\cos x - \sin x} \right){e^x}} dx\] (2).

Thay (2) vào (1) ta được:

\[I = \int {\left( {\cos x - \sin x} \right){e^x}dx = \left( {\cos x - \sin x} \right){e^x} + \left( {\sin x + \cos x} \right){e^x}} - I\]

\[ \Leftrightarrow 2I = 2\cos x{e^x} + C\]

\[ \Leftrightarrow I = \cos x{e^x} + C.\]

Vậy \[\int {f'\left( x \right).{e^x}} dx = \cos x{e^x} + C.\]