Cho \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^x} + 2x\] thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}.\] Tính \[F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right).\]

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{e^x} + 2x} \right)dx} \] \[ = {e^x} + {x^2} + C.\]

Mà \[F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}\] nên \[{e^0} + {0^2} + C = \frac{3}{2}\].

Suy ra \[C = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}\].

Do đó \[F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + \frac{1}{2}.\]

Có: \[F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) = e + 1 + \frac{1}{2} + {e^2} + 4 + \frac{1}{2}\]\[ = {e^2} + e + 6.\]

Vậy \[F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) = {e^2} + e + 6.\]