Giả sử trong một trường học, có 80% học sinh đã học bài kiểm tra toán và 20% học sinh chưa học bài. Trong số những học sinh đã học bài, 90% đạt điểm cao (trên 8), còn trong số những học sinh chưa học bài, chỉ có 20% học sinh đạt điểm cao. Nếu chọn ngẫu nhiên một học sinh đạt điểm cao trong bài kiểm tra, xác suất để học sinh đó thuộc bài là bao nhiêu?

Đáp án đúng là: B

Gọi A là biến cố: “Học sinh đã học bài”.

\(\overline A \) là biến cố: “Học sinh chưa học bài”.

B là biến cố: “Học sinh đạt điểm cao”.

Theo đề, ta có:

Xác suất học sinh đã học bài là: P(A) = 0,8.

Xác suất học sinh chưa học bài là: P(\(\overline A \)) = 1 – 0,8 = 0,2.

Xác suất học sinh đạt điểm cao nếu đã học bài là: P(B | A) = 0,9.

Xác suất học sinh đạt điểm cao nếu chưa học bài là: P(B | \(\overline A \)) = 0,2.

Xác suất học sinh làm bài được điểm cao là:

P(B) = P(A).P(B | A) + P(\(\overline A \)).P(B | \(\overline A \)) = 0,9.0,8 + 0,2.0,2 = 0,76.

Áp dụng định lý Bayes, xác suất học sinh đã học bài đạt điểm cao là:

P(B | A) = \(\frac{{P\left( {B|A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,9.0,8}}{{0,76}} \approx 0,9474.\)