Tổng các nghiệm trên khoảng \((0;\pi )\) của phương trình lượng giác \(4{\sin ^2}\frac{x}{2} - \sqrt 3 \cos 2x = 1 + 2{\cos ^2}\left( {x - \frac{{3\pi }}{4}} \right)\) là:

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức hạ bậc:

    \(2{\cos ^2}x = 1 + \cos 2x\)

    \(2{\sin ^2}x = 1 - \cos 2x.\)

Lời giải  

Ta có:

\(4{\sin ^2}\frac{x}{2} - \sqrt 3 \cos 2x = 1 + 2{\cos ^2}\left( {x - \frac{{3\pi }}{4}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2(1 - \cos x) - \sqrt 3 \cos 2x = 1 + 1 + \cos \left( {2x - \frac{{3\pi }}{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow  - 2\cos x = \sqrt 3 \cos 2x - \sin 2x\)

\( \Leftrightarrow  - \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x - \frac{1}{2}\sin 2x\)

\( \Leftrightarrow \cos (\pi  - x) = \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\pi  - x = 2x + \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{\pi  - x =  - 2x - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{5\pi }} - \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x = \frac{{ - 7\pi }}{6} + k2\pi }\end{array},k \in \mathbb{Z}.} \right.\)

Vì \(x \in (0;\pi )\) nên ta chỉ chọn \(x = \frac{{5\pi }},x = \frac{{17\pi }},x = \frac{{5\pi }}{6}\)

Vậy tổng các nghiệm trên khoảng \((0;\pi )\) của phương trình lượng giác là \(\frac{{37\pi }}\).