Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có cạnh bên bằng \(a\sqrt 2 \), đáy ABC là tam giác vuông tại \(B,BC = a\sqrt 3 ,AB = a\). Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh \(A'\) lên mặt đáy là điểm \(M\) thoả mãn \(3\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AC} \). Thể tích lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) bằng

Trong tam giác ABC ta có

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = 2a \Rightarrow AM = \frac{1}{3}AC = \frac{3} \Rightarrow {A^\prime }M = \sqrt {{A^\prime }{A^2} - A{M^2}}  = \frac{{a\sqrt {14} }}{3}{\rm{. }}\)

Tính thể tích lăng trụ tam giác \(ABC.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) là:

\({V_{ABC.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }}} = A'M.{S_{ABC}} = \frac{{a\sqrt {14} }}{3}.\frac{1}{2}.a.a\sqrt 3  = \frac{{{a^3}\sqrt {42} }}{6}.\)