Có bao nhiêu số nguyên x thuộc (0;10] là nghiệm của bất phương trình \(\frac{{{{\log }_2}\frac{x}{2}}}{{{{\log }_2}x}} - \frac{{{{\log }_2}{x^2}}}{{{{\log }_2}x - 1}} \le 1\)?

\(\frac{{{{\log }_2}\frac{x}{2}}}{{{{\log }_2}x}} - \frac{{{{\log }_2}{x^2}}}{{{{\log }_2}x - 1}} \le 1\) (1).

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _2}x \ne 0\\{\log _2}x - 1 \ne 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _2}x \ne 0\\{\log _2}x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\\x \ne 2\end{array} \right.\)

(1) \( \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_2}x - 1}}{{{{\log }_2}x}} - \frac{{2{{\log }_2}x}}{{{{\log }_2}x - 1}} \le 1\).

Đặt \(t = {\log _2}x\).

Bất phương trình trở thành: \(\frac{t} - \frac \le 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 2{t^2} - t + 1}}{{t(t - 1)}} \le 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t > 1}\\{0 < t \le \frac{1}{2}}\\{t \le  - 1}\end{array}} \right.\).

\(t > 1 \Leftrightarrow {\log _2}x > 1 \Leftrightarrow x > 2\).

​\(0 < t \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow 0 < {\log _2}x \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow 1 < x \le \sqrt 2 \).

\(t \le  - 1 \Leftrightarrow {\log _2}x \le  - 1 \Leftrightarrow 0.x \le \frac{1}{2}\).

Kết hợp với điều kiện, bất phương trình (1) có tập nghiệm \[S = \left( {0;\frac{1}{2}} \right] \cup \left( {1;\sqrt 2 } \right] \cup (2; + \infty )\].

Vậy có 8 số nguyên x ∈ (0;10] là nghiệm của BPT đã cho.