Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị thực của \(m\) để hàm số \(g(x) = f\left( {{2^x} - 1} \right) + \dot f(m)\) có \({\max _{[0;1]}}|g(x)| = 3\)?

Giải thích

Đặt \(f(m) = a\), khi đó ta có

\({\max _{[0;1]}}|g(x)| = \max \left\{ {\left| {{{\max }_{[0;1]}}g(x)} \right|;\left| {{{\min }_{[0;1]}}g(x)} \right|} \right\}\)

Xét hàm số \(g(x) = f\left( {{2^x} - 1} \right) + a\), đặt \(t = {2^x} - 1 \Rightarrow t \in [0;1]\,\,\forall x \in [0;1]\)

Dựa vào đồ thị có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\max }_{[0;1]}}f(t) = 3}\\{{{\min }_{[0;1]}}f(t) =  - 2}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\max }_{[0;1]}}g(x) = 3 + a}\\{{{\min }_{[0;1]}}g(x) =  - 2 + a}\end{array}} \right.} \right.\)

TH1. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{|3 + a| = 3}\\{|3 + a| > | - 2 + a|}\end{array} \Rightarrow a = 0 \Rightarrow f(m) = 0} \right.\) (4 nghiệm)

TH2. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{| - 2 + a| = 3}\\{| - 2 + a| > |3 + a|}\end{array} \Rightarrow a =  - 1 \Rightarrow f(m) =  - 1} \right.\) (4 nghiệm)

Vậy có tất cả 8 giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

 Chọn B