Cho \(a,b,c\) là các số thực thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 4\). Với \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right]\), giá trị lớn nhất của hàm số \(y = a + b\sqrt {{\rm{sin}}x} + c\sqrt {{\rm{cos}}x} \) là

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

\({(a + b\sqrt {{\rm{sin}}x}  + c\sqrt {{\rm{cos}}x} )^2} \le \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {1 + {\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x} \right) = 4.\left[ {1 + \sqrt 2 {\rm{sin}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right] \le 4\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\)

\( \Rightarrow y = a + b\sqrt {{\rm{sin}}x}  + c\sqrt {{\rm{cos}}x}  \le 2\sqrt {1 + \sqrt 2 } \).

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{b}{{\sqrt {{\rm{sin}}x} }} = \frac{c}{{\sqrt {{\rm{cos}}x} }}}\\{{a^2} + {b^2} + {c^2} = 4}\\{{\rm{sin}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1,x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right]}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{{2\sqrt[4]{2}}}{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }};b = c = \frac{2}{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}.}\\{x = \frac{\pi }{4}}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(2\sqrt {1 + \sqrt 2 } \).