Người ta dùng hết 20 cuốn sách bao gồm 9 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 5 cuốn sách Hóa (các cuốn sách cùng loại thì giống nhau) để làm phần thưởng cho 10 học sinh (trong đó có hai học sinh An và Ninh), mỗi học sinh nhận được 2 cuốn sách khác thể loại. Có bao nhiêu cách phát thưởng để hai học sinh An và Ninh nhận được phần thưởng khác nhau?

Để một học sinh nhận được 2 quyển sách thể loại khác nhau, ta chia phần thưởng thành 3 loại: Toán + Lý, Toán + Hóa, Lý + Hóa.

Gọi \(x,y,z\left( {x,y,z \in \mathbb{N}} \right)\) lần lượt là số học sinh nhận được bộ phần thưởng Toán + Lý, Toán + Hóa, Lý + Hóa. Ta có hệ sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 9}\\{x + z = 6}\\{y + z = 5}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y = 4.}\\{z = 1}\end{array}} \right.} \right.\)

Số cách phát thưởng ngẫu nhiên cho 10 học sinh là \(C_{10}^5.C_5^4.C_1^1 = C_{10}^5.C_5^4\).

Để hai học sinh An và Ninh nhận phần thưởng giống nhau có các trường hợp sau:

TH1: An và Ninh cùng nhận bộ Toán + Lý có \(C_8^3\).\(C_5^4\) cách phát phần thưởng.

TH2: An và Ninh cùng nhận bộ Toán + Hóa có \(C_8^2\). \(C_6^5\) cách phát phần thưởng.

TH3: An và Ninh cùng nhận bộ Lý + Hóa không xảy ra do chỉ có 1 bộ Lý + Hóa.

Vậy số cách để An và Ninh nhận được phần thưởng khác nhau là \(C_{10}^5.C_5^4 - C_8^3.C_5^4 - C_8^2.C_6^5 = 812\).