Cho dãy số \(\left( {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right),\,\,{\rm{n}} \in \mathbb{N}*\), thỏa mãn điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_1} = 3}\\{{{\rm{u}}_{{\rm{n}} + 1}} = - \frac{{{{\rm{u}}_{\rm{n}}}}}{5}}\end{array}} \right.\). Gọi \({\rm{S}} = {{\rm{u}}_1} + {{\rm{u}}_2} + {{\rm{u}}_3} + \ldots + {{\rm{u}}_{\rm{n}}}\) là tổng \({\rm{n}}\) số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Khi đó \(\lim {{\rm{S}}_{\rm{n}}}\) bằng

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có \(\frac{{{{\rm{u}}_{{\rm{n}} + 1}}}}{{{{\rm{u}}_{\rm{n}}}}} = \frac{{ - \frac{{{{\rm{u}}_{\rm{n}}}}}{5}}}{{{{\rm{u}}_{\rm{n}}}}} =  - \frac{1}{5}\)  do đó dãy  \(\left( {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right),\,\,{\rm{n}} \in \mathbb{N}*\) là một cấp số nhân lùi vô hạn có \({{\rm{u}}_1} = 3,\;{\rm{d}} =  - \frac{1}{5}\).

Suy ra \(\lim {{\rm{S}}_{\rm{n}}} = \frac{{{{\rm{u}}_1}}}}} = \frac{3}} = \frac{5}{2}\).

Chọn D