Cho hình trụ \(\left( T \right)\) có hai hình tròn đáy là \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\). Xét hình nón \(\left( N \right)\) có đỉnh \(O'\), đáy là hình tròn \(\left( O \right)\) và đường sinh hợp với đáy một góc \(\alpha \). Biết tỉ số giữa diện tích xung quanh hình trụ \(\left( T \right)\) và diện tích xung quanh hình nón \(\left( N \right)\) bằng \(\sqrt 3 \). Tính số đo góc \(\alpha \).

Giả sử hình trụ \(\left( T \right)\) có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(R\).

Khi đó \(\left( T \right)\) có \({S_{xq\left( {tru} \right)}} = 2\pi Rh\).

Vì đường sinh hợp với đáy một góc \(\alpha \) nên \(\widehat {O'AO} = \alpha  \Rightarrow O'A = \frac{h}{{{\rm{sin}}\alpha }}\).

Diện tích xung quanh hình nón \(\left( N \right):{S_{xq\left( {non} \right)}} = \pi Rl = \pi R\frac{h}{{{\rm{sin}}\alpha }}\).

Tỉ số giữa diện tích xung quanh hình trụ \(\left( T \right)\) và diện tích xung quanh hình nón \(\left( N \right)\) bằng \(\sqrt 3 \).

Suy ra: \(\frac{{{S_{xq}}_{\left( {{\rm{tru\;}}} \right)}}}{{{S_{xq\left( {{\rm{non\;}}} \right)}}}} = \sqrt 3  \Leftrightarrow \frac{{2\pi Rh.{\rm{sin}}\alpha }}{{\pi Rh}} = \sqrt 3  \Leftrightarrow {\rm{sin}}\alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \alpha  = {60^ \circ }\).