Phần tư duy toán học Cho hàm số \(f\left( x \right) = x + {x^2} + {x^3} + \ldots + {x^{2024}}\). Tính \(L = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}\)

Giải thích

Ta có: \(f'\left( x \right) = 1 + 2x + 3x^2 + \ldots + 2024x^{2023}\)

\( \Leftrightarrow x \cdot f'\left( x \right) = x + 2x^2 + 3x^3 + \ldots + 2024x^{2024}\)

\( \Leftrightarrow x \cdot f'\left( x \right) = \left(2x - x\right) + \left(3x^2 - x^2\right) + \left(4x^3 - x^3\right) + \ldots + \left(2024x^{2023} - x^{2023}\right) + 2024x^{2024}\)

\( \Leftrightarrow x \cdot f'\left( x \right) = \left(1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots + 2024x^{2023}\right) - \left(1 + x + x^2 + x^3 + \ldots + x^{2023}\right) + 2024x^{2024}\)

\( \Leftrightarrow x \cdot f'\left( x \right) = f'\left( x \right) - \frac{1 - x^{2024}}{1 - x} + 2024x^{2024}\)

\( \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \frac{2024x^{2024}}{x - 1} + \frac{1 - x^{2024}}{(x - 1)^2}\).

Cách 2:

Nhận xét \(x, x^2, x^3, \ldots, x^{2024}\) là cấp số nhân có số hạng đầu là \(x\) và công bội là \(x\).

Khi đó \(f\left( x \right) = x + x^2 + x^3 + \ldots + x^{2024} = S_{2024} = \frac{x\left(x^{2024} - 1\right)}{x - 1}\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{(x - 1)^2} \left[ \left(x \left(x^{2024} - 1\right)\right)'(x - 1) - x \left(x^{2024} - 1\right)\right]\)

\( = \frac{1}{(x - 1)^2} \left[ \left(x^{2024} - 1\right)(x - 1) + 2024x^{2024} \cdot (x - 1) - x\left(x^{2024} - 1\right)\right]\)

\( = \frac{2024x^{2024}}{x - 1} + \frac{1 - x^{2024}}{(x - 1)^2}\)

Vậy \(L = \lim_{x \to 2} \frac{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}{x - 2} = f'\left( 2 \right) = 2024 \cdot 2^{2024} + 1 - 2^{2024} = 2023 \cdot 2^{2024} + 1\).

Chọn B