Phần tư duy toán học Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) không đi qua \(I\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đường tròn có chu vi \(16\pi {\rm{cm}}\). Biết đường kính \(CD\) của \(\left( S \right)\) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) tại \(H\) và \(CH = 16{\rm{\;cm}}\) (điểm \(I\) nằm giữa \(C\) và \(H\)). Diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng bao nhiêu?

Gọi \(M\) là một giao điểm của \(\left( S \right)\) và \(\left( \alpha  \right)\).

Vì mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) giao mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đường tròn có chu vi \(16\pi {\rm{cm}}\)

\( \Rightarrow 2\pi HM = 16\pi  \Leftrightarrow HM = 8\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Gọi bán kính của \(\left( S \right)\) là \(R\).

Ta có: \(CH = R + IH \Leftrightarrow R + IH = 16 \Leftrightarrow IH = 16 - R\).

Áp dụng định lí Pythagore đối với tam giác vuông \(IHM\) :

\(I{M^2} = I{H^2} + H{M^2} \Leftrightarrow {R^2} = {(16 - R)^2} + {8^2} \Leftrightarrow  - 32R + 320 = 0 \Leftrightarrow R = 10\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Vậy diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(S = 4\pi {R^2} = 400\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

 Chọn A