Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \(h\) (mét) của mực nước trong kênh tính theo thời gian \(t\) (giờ) trong một ngày \((0 \le t < 24)\) được cho bởi công thức\(h\left( t \right) = 2{\rm{sin}}\left( {\frac{{3\pi t}}} \right)\left( {1 - 4{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\left( {\frac{{\pi t}}} \right)} \right) + 12\). Trong một ngày có bao nhiêu lần mực nước trong kênh đạt độ sâu 12m?

Giải thích

Đặt \(x = \frac{{\pi t}}\). Với \(t \in \left[ {0;24} \right)\) thì \(x \in \left[ {0;\frac{{12\pi }}{7}} \right)\). Khi đó, \(h\left( x \right) = 2{\rm{sin}}\left( {3x} \right)\left( {1 - 4{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x} \right) + 12\)

Để mực nước trong kênh đạt độ sau \(12{\rm{\;m}}\) thì \(h\left( t \right) = 12\).

\( \Leftrightarrow h\left( x \right) = 12 \Leftrightarrow 2{\rm{sin}}\left( {3x} \right)\left( {1 - 4{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x} \right) + 12 = 12\)

\( \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( {3x} \right)\left( {1 - 4{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{\rm{sin}}\left( {3x} \right)\left( {1 - 2{\rm{sin}}x} \right)\left( {1 + 2{\rm{sin}}x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{sin}}\left( {3x} \right) = 0}\\{1 - 2{\rm{sin}}x = 0}\\{1 + 2{\rm{sin}}x = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{k\pi }}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x =  \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}} \right.} \right.\)

Vì \(x \in \left[ {0;\frac{{12\pi }}{7}} \right);k \in \mathbb{Z}\) nên:

Vậy có 9 giá trị thỏa mãn hay trong một ngày có 9 lần mực nước trong kênh đạt độ sâu \(12{\rm{\;m}}\).

 Chọn D