Cho dãy số \(\left( \right)\) với \({S_n} = {\rm{sin}}\left( {4n - 1} \right)\frac{\pi }{6}\). Hãy tính tổng 15 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

Phương pháp giải

Xác định hệ thức truy hồi của dãy số

Nhóm tổng 15 số hạng đầu tiên thành các tổng bằng nhau

Lời giải

Với \(n \ge 1\), ta có:

\({S_{n + 3}} = {\rm{sin}}\left[ {4\left( {n + 3} \right) - 1} \right]\frac{\pi }{6} = {\rm{sin}}\left[ {4n - 1 + 12} \right]\frac{\pi }{6}\)

\( = {\rm{sin}}\left[ {\left( {4n - 1} \right)\frac{\pi }{6} + 2\pi } \right] = {\rm{sin}}\left( {4n - 1} \right)\frac{\pi }{6} = {S_n}\)

Ta có: \(S = {s_1} + {s_2} + .. + {s_{15}} = \left( {{s_1} + {s_2} + {s_3}} \right) + \left( {{s_4} + {s_5} + {s_6}} \right) +  \ldots \)\( + \left( {{s_{13}} + {s_{14}} + {s_{15}}} \right)\)

Mà \({s_1} = {s_4} = {s_7} = {s_{10}} = {s_{13}}\)

\({s_2} = {s_5} = {s_8} = {s_{11}} = {s_{14}}\)

\({s_3} = {s_6} = {s_9} = {s_{12}} = {s_{15}}\)

\( \Rightarrow {s_1} + {s_2} + {s_3} = {s_4} + {s_5} + {s_6} =  \ldots  = {s_{13}} + {s_{14}} + {s_{15}}\)

\( \Rightarrow S = 5\left( {{s_1} + {s_2} + {s_3}} \right)\)

\( = 5\left( {1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}} \right)\)

\( = 0\)

 Chọn C