Gọi \(m,n\) là hai giá trị thực thỏa mãn giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right):mx + 2y + nz + 1 = 0\) và \(\left( Q \right):x - my + nz + 2 = 0\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right):4x - y - 6z + 3 = 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Giải thích

\(\left( P \right):mx + 2y + nz + 1 = 0\) có VTPT \(\overrightarrow   = \left( {m;2;n} \right)\).

\(\left( Q \right):x - my + nz + 2 = 0\) có VTPT \(\overrightarrow   = \left( {1; - m;n} \right)\).

\(\left( \alpha  \right):4x - y - 6z + 3 = 0\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {4; - 1; - 6} \right)\).

Do giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( P \right) \bot \left( \alpha  \right)}\\{\left( Q \right) \bot \left( \alpha  \right)}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow   \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} }\\{\overrightarrow   \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} }\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4m - 2 - 6n = 0}\\{4 + m - 6n = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4m - 6n = 2}\\{m - 6n =  - 4}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 2}\\{n = 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.} \right.\)

Vậy \(m + n = 3\).

 Chọn D