III. Vận dụng Cho tam giác nhọn \[ABC\] có ba đỉnh nằm trên đường tròn \[\left( O \right)\]. Hai đường cao \[BD\] và \[CE\] cắt nhau tại \[H\]. Vẽ đường kính \[AF\] và gọi\[M\] là trung điểm \[BC\]. Cho các khẳng định sau: (i) \(OM \bot BC\). (ii) \(OM\,{\rm{//}}\,AH\). (iii) \(HM = \frac{2}\). Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định trên?

Đáp án đúng là: D

⦁ Xét đường tròn \[\left( O \right)\] có \(\widehat {ABF} = 90^\circ \) và \(\widehat {ACF} = 90^\circ \) (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra \[BF \bot \;AB\] và \[CF \bot \;AC\].

Mà \[CE \bot \;AB\] và \[BD \bot \;AC\] nên \[CE\,{\rm{//}}\,BF,\] \[BD\,{\rm{//}}\,CF\].

Suy ra \[BHCF\] là hình bình hành, do đó hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Lại có \[M\] là trung điểm của \[BC\] nên \[M\] cũng là trung điểm của \[HF\] hay \(HM = \frac{2}\).

⦁ Xét \(\Delta AHF\) có \(O,\,\,M\) lần lượt là trung điểm của \(AF,\,\,HF\) nên \[OM\] là đường trung bình của tam giác \[AHF\], do đó \[AH\,{\rm{//}}\,OM\].

⦁ Xét tam giác \[ABC\] có \[BD\] và \[CE\] là hai đường cao cắt nhau tại \[H\] nên \[H\] là trực tâm tam giác \[ABC\]. Suy ra  \[AH \bot \;BC\] mà \[AH\,{\rm{//}}\,OM\], do đó \[OM \bot \;BC\].

Vậy cả ba khẳng định đã cho đều đúng, ta chọn phương án D.