Cho tứ giác \[ABCD\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\] sao cho tam giác \[ABC\] nhọn. Hai đường cao \[AM,{\rm{ }CN\] của tam giác \[ABC\] cắt nhau tại \[H.\] Khẳng định nào sau đây là đúng?

Đáp án đúng là: D

Xét phương án A:

a) Ta có \[\widehat {HMB} = \widehat {HNB} = 90^\circ \] (do \[AM,{\rm{ }CN\] là hai đường cao cắt nhau tại \[H\] của tam giác ABC).

Do đó hai điểm \[M,{\rm{ }N\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \[HB.\]

Khi đó tứ giác \[HMBN\] nội tiếp đường tròn đường kính \[HB.\]

Vậy \[\widehat {MHN} + \widehat {MBN} = 180^\circ \] hay \[\widehat {MHN} + \widehat {ABC} = 180^\circ .\]

Xét phương án B:

Ta có tứ giác \[ABCD\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\] nên \[\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = 180^\circ .\]

Mà \[\widehat {MHN} + \widehat {ABC} = 180^\circ \] (câu a) nên \[\widehat {ADC} = \widehat {MHN}\,.\]

Lại có \[\widehat {AHC} = \widehat {MHN}\] (cặp góc đối đỉnh) nên \[\widehat {AHC} = \widehat {ADC}\,.\]

Xét phương án C:

Tam giác ABM, có: \[\widehat {AMB} + \widehat {BAM} + \widehat {ABC} = 180^\circ \] (tổng ba góc của một tam giác)

Mà \[\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = 180^\circ \] (chứng minh trên)

Suy ra \[\widehat {ADC} = \widehat {AMB} + \widehat {BAM} = 90^\circ + \widehat {BAM}\,.\]

Vậy \[\widehat {ADC} = \widehat {BAM} + 90^\circ .\]

Do đó chọn phương án D.