Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=-x3+3x2+3(m2-1)x-3m2-1có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O.

+ Đạo hàm y’ =  -3x²+ 6x+ 3( m²-1) = -3( x²- 2x-m²+1).

Đặt g( x) = x²- 2x-m²+1 là tam thức bậc hai có ∆'=m2 .

+ Do đó hàm số đã cho có cực đại cực tiểu khi và chỉ khi y’ =0 có hai nghiệm phân biệt hay g(x)  =0  có hai nghiệm phân biệt

 ⇔∆'>0⇔m≠0.                   (1)

+ Khi đó y’ có các nghiệm là: 1±m .

 Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A( 1-m ; -2-2m³) và B( 1+m ; -2+ 2m³).

Ta có: 

OA→(1-m;-2-2m3)⇒OA2=(1-m)2+4(1+m3)2.OB→(1+m;-2+2m3)⇒OB2=(1+m)2+4(1-m3)2.

Để A và B cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi OA= O B  hay  OA²= OB²

(1-m)2+4(1+m3)2=(1+m)2+4(1-m3)2⇔-4m+16m3=0

Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ m=±12  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn yêu cầu  bài toán.

Chọn  A.