Cho hàm số y=2x+1x-1có đồ thị (C) . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến của (C) cắt 2 tiệm cận tại A và B sao cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến ∆gần giá trị nào nhất?

+ Gọi M(x0; 2+3x0-1)∈C, x0≠1.

Phương trình tiếp tuyến tại M  có dạng

∆: y= -3x0-12(x-x0)+2+3x0-1

+ Giao điểm của ∆  với tiệm cận đứng là A(1; 2+6x0-1)

+ Giao điểm của ∆  với tiệm cận ngang là  B( 2x₀-1; 2).

Ta có S∆IAB=12IA.IB=12.6x0-1.2.x0-1=2.3=6

Tam giác IAB vuông tại I có diện tích không đổi nên  chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi

IA=IB 

+Với x0=1+3  thì phương trình tiếp tuyến là ∆: y=-x+3+23 . Suy ra

dO,∆=3+232

+ Với  x0=1-3thì phương trình tiếp tuyến là ∆: y=-x+3-23. Suy ra

dO,∆=-3+232

Vậy khoảng cách lớn nhất là 3+232  gần với giá trị 5 nhất trong các đáp án.

Chọn D.