Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên trên đoạn [-2017;2017] để phương trình x2-1log2x2+1-m2(x2-1)logx2+1+m+4=0 có đúng hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn 1≤x1≤x2≤3

Đáp án B

Điều kiện 

Phương trình đã cho tương đương với:

Đặt t=x2≥1, theo bài ra ta có 1≤x1

Xét hàm số f(t)=2-(t-1).log(t+1) trên đoạn 1;9.

Ta có

⇒Hàm số f(t) đồng biến trên đoạn 1;9. Khi đó f(1)≤f(t)≤9 hay 1≤f(t)≤4.

Đặt u=2(x2-1).log(x2+1)⇒u∈0;4. Khi đó phương trình * trở thành u2-2m.u+2m+8=01.

Nhận thấy u=1 không phải là nghiệm của phương trình 1. Với u≠1 thì phương trình 1 tương đương với u2+8=2m(u-1)⇔2m=u2+8u-12

Xét hàm số gu=u2+8u-1 trên đoạn 0;4\1.

Ta có g'u=u2-2u-8u-12; g'(u)=0⇔[u=-2u=4. Mà u∈0;4\1 nên u=4.

Mặt khác, có g(0)=-8; g(4)=8; limx→1-g(u)=-∞; limx→1+g(u)==∞.

Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán ⇔ Phương trình 2 có nghiệm duy nhất trên đoạn  0;4\1.

Suy ra

Mặt khác m∈ℤ, m∈-2017;2017 nên suy ra

Vậy có tất cả 2017-4+1+-4+2017+1=4028 giá trị m nguyên thỏa mãn bài toán.