Trên bảng ô vuông của một bảng 4x4 ô vuông, người ta điền một trong hai số 6 hoặc -6 sao cho tổng các số trong mỗi hàng và trong mỗi cột đều bằng 0. Hỏi có bao nhiêu cách điền như thế? (tham khảo hình vẽ ví dụ cho một trường hợp điền số thỏa mãn yêu cầu) 6 -6 -6 6 6 -6 -6 6 -6 6 6 -6 -6 6 6 -6

Chọn C

Để cho tiện lặp luận, ta thay việc điền số 6 ta nói là điền dấu cộng "+" và thay cho việc điền số -6 ta nói là điền dấu trừ "-" .  Theo thứ tự từ hàng trên xuống ta gọi là hàng 1, 2, 3, 4. Vậy mỗi hàng và mỗi cột ta cần điền 2 dấu "+" và 2 dấu "-"

Xét hai hàng 1 và 2, ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Cách điền các dấu "+", "-" ở hai hàng 1  và 2 không  có 2 ô tương ứng theo cột nào giống nhau.  Nói cách khác, hai hàng 1  và 2 có điền dấu trái ngược nhau. Khi đó, số cách điền dấu ở hàng 1 là 4C2 = 6, hàng 2 chỉ có một cách điền ngược lại. Tổng dấu ở hai ô tương ứng theo cột của hai hàng đầu bằng 0 nên đến hàng thứ 3 ta điền 2 dấu "+" và 2 dấu "-" tùy ý. Hàng thứ tư chỉ có cách điền ngược dấu với hàng thứ ba. Vậy có 4C2 = 6 cách điền dấu hai hàng cuối. Trong trường hợp này ta có 6.6 = 36 cách điền số thỏa mãn đề bài.

Trường hợp 2: Cách điền các dấu "+", "-" ở hai hàng 1 và 2 có cả 4 ô tương ứng theo cột giống nhau.  Khi đó, số cách điền dấu ở hàng một và hai là 4C2 = 6. Tổng dấu ở 2 ô tương ứng theo cột của 2 hàng đầu bằng hai lần dấu "+" hoặc 2 lần dấu "-"nên đến hàng thứ ba, tư ta điền  dấu giống nhau và ngược lại so với hàng một, hai. Vậy chỉ có một cách điền dấu hai hàng cuối. Trong trường hợp này ta có 6 cách điền số thỏa mãn đề bài.

Trường hợp 3: Cách điền các dấu  "+", "-" ở hai hàng một và hai có đúng hai ô tương ứng theo cột giống nhau. Tức là có đúng hai cột giống nhau và 2 cột khác nhau.

Chọn một trong hai cột  giống nhau để điền dấu "+", cột giống nhau còn lại điền dấu "-" thì có 2 cách. Ở hai cột khác nhau cũng chỉ có 2 cách điền dấu ngược nhau. Đến hàng thứ ba, ở cột ô giống nhau của hai hàng trên, ta chỉ có cách điền ngược dấu, còn ở cột ô khác nhau, ta có cách điền tùy ý dấu nào cũng được, nhưng chỉ được tùy ý cho 2 cách điền ở một ô, ô còn lại không có lựa chọn. Vậy có 2 cách điền hàng ba. Hàng thứ tư chỉ có một cách điền duy nhất.

Vậy trong trường hợp này ta có 6.4.2  48 cách.

Tóm lại có 36 + 6 + 48 = 90  cách.