Cho tứ diện ABCD có CD=a2, ∆ABC là tam giác đều cạnh a, ∆ACD vuông tại A. Mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng (ABD). Thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng

Chọn A

Coi như a=1. Tam giác ACD vuông tại A nên AD=CD2-AC2=1=AB cân tại A và tam giác ACD vuông cân tại A. Gọi H, E lần lượt là trung điểm của BD và DC. Ta có AH⊥BCD và CD⊥AE. Hơn nữa CD⊥AH ⇒CD⊥AHE ⇒CD⊥HE mà HE song song với BC suy ra BC vuông góc với CD. H là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD, do đó AH là trục đường tròn này. Trong tam giác AHE dựng đường thẳng qua E vuông góc AE và cắt AH tại điểm I. Do mặt phẳng (AHE) vuông góc với mặt phẳng (ACD) nên d cũng vuông góc với (ACD). Hơn nửa E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD suy ra I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Ta có AI.AH=AE2 ⇒AI=AE2AH. Ta có AE=12CD=22, HK=12BC=12 ⇒AH=12

Vậy AI=AE2AH=1 ⇒R=1⇒Vmc=43πa3