Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình 3sin2x+cos2xsin2x+4cos2x+1≤m+1 đúng với mọi x∈ℝ

Đáp án D

Ta có :y=3sin2x+cos2xsin2x+4cos2x+1=3sin2x+cos2xsin2x+2cos2x+3

và sin2x+2cos2x+3>0; ∀x∈ℝ 

xét phương trình

 y=3sin2x+cos2xsin2x+2cos2x+3

⇔sin2x+2cos2x+3y=3sin2x+cos2x⇔y−3sin2x+2y−1cos2x=−3y

Phương trình trên có nghiệm nên 

y−32+2y−12≥−3y2⇔5y2−10y+10≥9y2

⇔−4y2−10y+10≥0⇔−5−654≤y≤−5+654

Suy ra giá trị lớn nhất của y là −5+654

Phương trình 3sin2x+cos2xsin2x+2cos2x+3≤m+1nghiệm đúngg với mọi số thực x khi 

−5+654≤m+1⇔m≥−9+654