Cho một khối cầu tâm O bán kính bằng 6cm. Mặt phẳng (P) cách O một khoảng x (cm) cắt khối cầu theo một hình tròn (C). Một khối nón có đỉnh thuộc mặt cầu, đáy là hình tròn (C). Biết khối nón có thể tích lớn nhất, giá trị của x bằng

Chọn đáp án A

Gọi I là tâm của hình tròn (C) và S là đỉnh của hình nón. Gọi bán kính của hình tròn (C) là r thì

Trường hợp 1: O nằm giữa S và I.

Chiều cao của hình chóp là SI = SO + OI = x + 6 (cm).

Thể tích khối chóp là V=13π36-x2x+6cm3 

Xét hàm số fx=36-x2x+6 với 0≤x<6 

Ta có f'x=-3x2-12x+36

Do 0≤x<6 nên x = - 6.

Lập bảng biến thiên của hàm số ta thấy f(x) ta thấy fx≤f2=256 

Suy ra V≤V1=13π.256=2563πcm3

Dấu “=” xảy ra x = 2.

Trường hợp 2: I nằm giữa S và O

Chiều cao của hình chóp là SI = SO – OI = 6 – x (cm)

Thể tích của khối chóp là V=13π36-x26-xcm3 (cm³).

Xét hàm số gx=36-x26-x với 0≤x<6

Ta có g'x=3x2-12x-36<0,∀x∈0;6 nên hàm số g(x) nghịch biến trên 0;6.

Suy ra gx≤g0=216 

Khi đó V≤V2=72πcm3.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

So sánh hai trường hợp 1 và 2, suy ra thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho là V=2563πcm3 khi x=2cm.