Giả sử hàm f có đạo hàm cấp n trên R,n∈N* và f(1-x)+x2f''(x)=2x với mọi x∈ℝ. Tính tích phân I=∫01xf'(x)dx

f(1-x)+x2f''(x)=2x1 

Thay x=0 vào (1) ta được f(1)=0 

Đạo hàm hai vế của (1) ta có -f'(1-x)+2xf''(x)+x2f'''(x)=22 

Thay x=0 vào (2) ta được f'(1)=2

Mặt khác, lấy tích phân hai vế cận từ 0 đến 1 của (1) ta có:

∫01f(1-x)dx+∫01x2f''(x)dx=∫012xdx

⇔-∫01f(1-x)d(1-x)+f'(1)-2∫01xf'(x)dx=1⇔∫01f(x)dx-2∫01xf'(x)dx=3

Đặt ∫1f(x)dx=I1. Vì

∫01xf'(x)dx=f(1)-∫01f(x)dx=-∫01f(x)dx

nên ta có hệ: I1-2I=3I=-I1⇔I1=1I=-1 

Vậy I=-1

Chọn đáp án B.