Cho hàm số y=x3−3x2−m2−2x+m2 có đồ thị là đường cong C. Biết rằng các số thực m1;  m2 của tham số m để hai điểm cực trị của C và giao điểm của C với trục hoành tạo thành 4 đỉnh của hình chữ nhật. Tính T=m14+m24

Đáp án B

Ta có: y'=3x2−6x−m2+2

Lấy yy' thì phần dư ta được PT đường thẳng qua các điểm cực trị là:

y=23xm2+1+2m2+23

Phương trình hoành độ giao điểm là: x3−3x2−m2−2x+m2=0⇔x3−3x2+2x−m2x−1=0⇔x−1x2−2x−m2=0⇔x=1gx=x2−2x−m2=0

Đk cắt tại 3 điểm phân biệt ⇔Δ'=1+m2>0g'1=−1−m2≠0

Khi đó C cắt Ox tại 3 điểm Ax1;0;B1;0;Cx2;0, theo Viet ta có: x1+x2=2=2xB

Gọi M và N là tọa độ 2 điểm cực trị thì B là trung điểm của MN (Do B là điểm uốn)

Để AMCN là hình chữ nhật thì AC=MN⇔x1−x2=xM−xN2+49m2+12xM−xN2

Trong đó xM+xN=2xMxN=2−m23⇒4+4m2=4+4m2−8349m2+12+1⇔m2+12=92

m2=32−1m2=−32−1⇔m=±32−1

Do đó T=m14+m24=11−62