Cho hàm số C:y=x3+3x2+1.Đường thẳng đi qua điểm A−3;1và có hệ số góc bằng k. Xác định k để đường thẳng đó cắt đồ thị tại 3 điểm khác nhau

Đáp án C

Phương pháp:

Viết phương trình đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k .

Biện luận số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm để suy ra kết luận.

Cách giải:

Xét hàm số: y=x3+3x2+1C trên R

Ta có: y'=3x2+6x;y'=0⇔3x2+6x=0⇔x=0x=−2

Ta có (C) là hàm số bậc 3 xác định trên R, đồ thị của nó có duy nhất 2 cực trị hoặc không có điểm cực trị nào.

Ta có: a=1>0→B0;1 là điểm cực tiểu của (C).

Ta có: AB→=3;0⇒AB//Ox

=> để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì điều kiện cần là k>0 với k là hệ số góc đường thẳng cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

Gọi d:y=kx+a với: k>0;k,a∈R

Ta lại có 

A−3;1∈d⇒1=−3k+a⇔a=1+3k

⇒d:y=kx+3k+1

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

<=> phương trình: kx+3k+1=x3+3x2+11có 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình 1⇔x+3x2−k=0⇔x=−3x=±kvì k>0

Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

Vậy k>0;k≠9 thỏa mãn yêu cầu của bài.

Chú ý khi giải:

HS cần chú ý cách viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc.

Liên hệ được mối liên hệ giữa số giao điểm và số nghiệm của phương trình để biện luận.