Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có AB=23 và AA'=2. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của A'C' và A'B'. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng AB'C' và BCMN.

Đáp án A.

Cách 1: Gọi P là giao điểm của  BN và A'B'=>P là trọng tâm ΔA'B'B .

Q là giao điểm của CM và A'C'=>Q là trọng tâm ΔA'C'C

⇒PQ//B'C' Ta có AB'C'∩BCMN=PQ .

Gọi H là trung điểm của B'C' và I là giao điểm của AH và PQ.

I là trung điểm của PQ.

Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC và MN lần lượt tại J và K

=>J là trung điểm BC và K là trung điểm MN.

Ta có  AB'=AC'⇒ΔAB'C' cân tại A⇒AH⊥BC⇒AI⊥PQ .

Lại có IJ⊥PQ⇒  Góc giữa AB'C'và  BCMN là góc giữa IJ và IA.

Ta có:

AC'=AC2+CC'2=232+22=4

⇒AH=AC'2−HC'2=42−32=13⇒AI=23AH=2133

BN=BB'2+B'N2=22+32=7

KJ=NE=BN2−EB2=7−34=52⇒IJ=23KJ=53

Lại có AJ=23.32=3

Trong ΔAIJ  :

cosAIJ^=IJ2+IA2−AJ22.IJ.IA=259+4.139−92.53.2133=−1365 .

 Cosin của góc giữa AB'C'  và BCMN  là 1365

Cách 2: (Tọa độ hóa)

Gọi T là trung điểm AC. Đặt M=0;0;0,B'3;0;0,C'0;3;0,T0;0;2

⇒A0;−3;2,B3;0;2,C0;3;2⇒MB→=3;0;2,MC→=0;3;2

 n→=MB→,MC→=23;6;63là một vecto pháp tuyến của .

Lại có  AB'→=3;3;−2,AC'→=0;23;−2

 ⇒n'→=AB→,AC→'=23;6;63là một vecto pháp tuyến của AB'C' .

Gọi α  là góc giữa AB'C'  và MNBC .

Ta có:

cosα=cosn→;n'→^=−23.23+−6.6+33.63−232+−62+332.232+62+632=1365