Cho x; y; z; t ∈14;1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:P:=logxy-14+logyz-14+logzt-14+logtx-14

Dễ dàng có được x2≥x-14; y2≥y-14; z2≥z-14; t2≥t-14 (1)

Dấu “=” xảy ra trong các bất đẳng thức này khi và chỉ khi x = y = z = t = 12

Vì x; y; z; t ∈14;1 nên theo tính chất của lôgarit với cơ số dương và bé hơn 1 nên từ (1) ta có:

logxy2≤logxy-14; logyz2≤logyz-14; logzt2≤logzt-14; logtx2≤logtx-14 

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức này, ta được:

logxy-14+logyz-14+logzt-14+logtz-14≥2logxy+logyz+logzt+logtx 2

Dễ thấy logxy; logyz; logzt; logtx luôn dương nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

logxylogyzlogztlogtx≥4logxylogyzlogztlogtx4

Mà 

logxylogyzlogztlogtx=logxylogxzlogxtlogxylogxzlogtx=1

Từ (2). (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh.

Đáp án B