Cho hình lăng trụ ABC A'B'C' có AA'=a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Tam giác ABC vuông tại C và góc BAC^=60° . Hình chiếu vuông góc của B' lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm của ΔABC. Tính thể tích khối tứ diện A'ABC theo a

Đáp án D.

Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC, từ giả thiết suy ra B'H⊥ABC  .

Khi đó 

BB',ABC^=BB',BH^=B'BH^=60°

Ta có 

BB'=a⇒BH=BB'.cosB'BH^=a.cos60°=a2,B'H=B'B2−BH2=a32

Gọi M là trung điểm BC, suy ra BH=23BM⇒BM=32BH=32.a2=3a4  .

Đặt AC=x>0⇒BC=AC.tanBAC^=x.tan60°=x3⇒AB=AB2+AC2=2x  .

Lại có 

BM=BC2+CM2=BC2+AC24=3x2+x24=x132=3a4⇒x=3a213

 ⇒AC=3a213,BC=33a213,AB=6a213⇒SΔABC=12AC.BC=93a2104

(đvdt).

Vậy VA'ABC=13B'H.SΔABC=13.a32.93a2104=9a3208  (đvtt).