Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+y2+z2=3. Một mặt phẳng α tiếp xúc với mặt cầu (S) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C và thỏa mãn OA2+OB2+OC2=27. Diện tích của tam giác ABC bằng

Đáp án B.

Mặt cầu S:x2+y2+z2=3

có tâm O0;0;0 và bán kính R=3

Giả sử Aa;0;0,B0;b;0,C0;0;c với a,b,c>0 ⇒Phương trình mặt phẳng α là: xa+yb+zc−1=0

Để ý rằng OA2+OB2+OC2=27⇔a2+b2+c2=27 và vì α tiếp xúc mặt cầu S:

⇒dO,α=R=3⇔0a+0b+0c−11a2+1b2+1c2=3⇔1a2+1b2+1c2=13

Ta luôn có bất đẳng thức a2+b2+c2+1a2+1b2+1c2≥9 với a,b,c>0.

Dấu bằng khi a=b=c=3

Ta có VO.ABC=OA.OB.OC6=abc6=276

hoặc VO.ABC=dO,α.SABC3⇔SABC=932.