Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Thể tích của khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện ABCD bằng

Đáp án B

Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD. Ta chứng minh G là tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện.

Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, BD.

Ta có G là trung điểm của các đoạn MN, PQ, RS.

 ΔACD=ΔBCD⇒AN=BN⇒ΔNAB cân tại N ⇒MN⊥AB

Tương tụ ta có MN⊥CD.

Ta có:PQ=RS=MN=AN2−AM2=a322−a24=a22.

Suy ra dG,AB=dG,CD=12MN=a24.

Chứng minh tương tự ta có dG,AC=dG,AD=dG,BD=dG,BC=a24

Vậy G là tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện ABCD.

Bán kính mặt cầu R=a24.Suy ra thể tích khối cầu là V=43πR3=43πa243=2πa324.