Cho hàm số y=2x+1x+1C, gọi I là tâm đối xứng của đồ thị C và M a;blà một điểm thuộc đồ thị. Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M cắt hai tiệm cận của đồ thị (C) lần lượt tại hai điểm A và B . Để tam giác IAB có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất thì tổng a+b gần nhất với số nào sau đây?

Đáp án B

Điểm M∈C⇒Ma;2a+1a+1⇒y'a=1a+12

và ya=2a+1a+1.

Suy ra phương trình tiếp tuyến của ( C) tại M là

y=2a+1a+1=1a+12x−a⇔y=xa+12+2a2+2a+1a+12  d.

Đường thẳng ( d ) cắt tiệm cận đứng tại

A−1;2aa+1⇒IA=2a+1.

Đường thẳng ( d ) cắt tiệm cận ngang tại

B2a+1;2⇒IB=2a+1.

Suy ra IA.IB=4  và tam giác IAB vuông tại I

⇒SΔIAB=12.IA.IB=2

Mà SΔIAB=IA+IB+IC2 x r⇒rmax

khi và chỉ khi IA+IB+ICmin

Ta có

IA+IB+IC=IA+IB+IA2+IB2≥2IA.IB+2IA.IB=4+42.

Dấu “=” xảy ra

⇔2a+1=2a+1⇔a+12=1⇔a=0⇒b=1a=−2⇒b=3⇒a+b=1.