Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S): x² + y² + z² = 8 và điểm M12;32;0. Đường thẳng d thay đổi đi qua M và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B phân biệt. Tính diện tích S lớn nhất của tam giác OAB

Đáp án D

(S): O(0;0;0)R=22

Có OM=1<22 nên M nằm trong (S)

Dựng OH⊥AB(H∈AB), đặt OH = x. Khi đó 0≤x≤OM=1

Khi đó diện tích tam giác OAB là: SOAB=12OH.AB=12OH.2HB=OH.OB2−OH2=OH8−OH2=x8−x2=f(x)

Xét hàm số f(x)=x8−x2 với x∈0;1

f'(x)=8−x2−x28−x2=8−2x28−x2

f'(x)=0⇔x=2(L)x=−2(L)

Có f(0)=0; f(1)=7. Vậy maxf0;1(x)=7⇒Smax=7.