Cho hàm số y=13mx3−123m+2x2+5m−1x+2018. Tìm số các giá trị nguyên âm của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng −1;2

Đáp án B

Ta có y'=mx2−3m+2x+5m−1

Để hàm số đồng biến trên khoảng  −1;2 thì  y'≥0,∀x∈−1;2 .Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm

Cách 1:

Do ta chỉ xét giá trị m nguyên âm nên mx2−3m+2x+5m−1=0 là phương trình bậc hai. Đặt  fx=mx2−3m+2x+5m−1

TH1: Hàm số có hai điểm cực trị

Để thỏa mãn  y'≥0,∀x∈0;2 thì phương trình  y'=0 có hai nghiệm x1  ; x2  thỏa mãn x1≤−1<2≤x2 

⇔m.f−1≤0m.f2≤0⇔m.m+3m+2+5m−1≤0m.4m−23m+2+5m−1≤0

⇔m9m+1≤0m3m−5≤0⇔m≥−19m≥53⇔m≥53

(do m nguyên âm nên không thỏa mãn)

TH2: Hàm số không có điểm cực trị

Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thi Δ<0m>0 (do m nguyên âm nên không thỏa mãn)

Vậy ta chọn B.

Cách 2:

y'≥0⇔mx2−3m+2x+5m−1≥0⇔mx2−3x+5≥2x+1⇔m≥2x+1x2−3x+5

(do x2−3x+5>0∀x )

Đặt gx=2x+1x2−3x+5 . Ta có g'x=−2x2−2x+13x2−3x+52>0 ∀x∈−1;2 . Vậy gx  đồng biến trên −1;2

Để m≥gx∀x∈−1;2  thì  m≥maxx∈−1;2gx=g2=53