Biết ab (trong đó ab là phân số tối giản và a,b∈ℕ*) là giá trị của tham số thực m để cho hàm số y=23x3−mx2−23m2−1x+23 có hai điểm cực trị x1,x2 sao cho x1x2+2x1+x2=1. Tính giá trị biểu thức S=a2+b2.

Đáp án A.

Ta có y'=2x2−2mx−6m2+2.

Để hàm số có 2 điểm cực trị

⇔ y'=0 có 2 nghiệm phân biệt.

⇔Δ'=m2+43m2−1>0⇔13m2−4>0⇔m>213m<−213.

Khi đó, theo Viet ta có

x1+x2=mx1x2=1−3m2. 

Mà x1x2+2x1+x2=1 nên suy ra

1−3m2+2m=1⇔3m2−2m⇔m=0m=23. 

Kết hợp với điều kiện, ta được

m=23=ab⇒a=2b=3→S=22+32=13.