Cho đồ thị C:y=x3−3x2. Có bao nhiêu số nguyên b∈−10;10 để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm B0;b?

Đáp án A.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại Mx0;x03−3x02 có dạng: y=3x02−6x0x−x0+x03−3x02

Do tiếp tuyến đi qua điểm: 0;b

⇒b=3x02−6x0−x0+x03−3x02=−2x03+3x02

Để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua B0;b thì phương trình b=−2x03+3x02 có duy nhất một nghiệm. Xét hàm số:

y=−2x3+3x2⇒y'=−6x2+6x=0⇔x=0⇒y=0x=1⇒y=1

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra PT có 1 nghiệm khi b>1b<0

Với b∈−10;10 có 17 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.