Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn điều kiện:∫01f'x2dx=∫01x+1ex.fxdx=e2-14 và f(1) = 0 Tính giá trị tích phân I=∫01fxdx

⇒A=xexfx10-∫01xexf'xdx=-∫01xexf'xdx=1-e24

Xét ∫01x2e2xdx=e2x12x2-12x+1410=e2-14

Ta có ∫01f'x2dx+2∫01xexf'xdx+∫01x2e2xfxdx=0⇔∫01f'x+x.ex2dx=0f'x+x.ex=0,∀x∈0;1do f'x+x.ex2≥0, ∀x∈0;1⇒f'x=-xex⇒fx=1-xex+Cf1=0⇒fx=1-xex⇒I=∫01fxdx=∫011-xexdx=2-xex10=e-2