Ông X muốn xây một bình chứa hình trụ có thể tích 72m3. Đáy làm bằng bêtông giá 100 nghìn đồng/ m2, thành làm bằng tôn giá 90 nghìn đồng/ m2, nắp bằng nhôm giá 140 nghìn đồng/ m2. Vậy đáy của hình trụ có bán kính bằng bao nhiêu để chi phí xây dựng là thấp nhất?

Đáp án B

Phương pháp giải:

- Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là r,  h  m  r,  h>0. Từ thể tích của hình trụ rút h theo r.

- Tính diện tích xung quanh và diện tích đáy, diện tích nắp của hình trụ.

- Dựa vào giá tiền từng bộ phận đề bài đã cho, tính tổng chi phí.

- Sử dụng BĐT Cô-si cho 3 số không âm a, b, c: a+b+c≥3abc3. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c để tìm chi phí nhỏ nhất, từ đó tìm được r.

Giải chi tiết:

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là r,  h  m  r,  h>0.

Vì thể tích hình trụ là 72m3 nên ta có πr2h=72⇔h=72πr2.

Diện tích thành (diện tích xung quanh) hình trụ là 2πrh=2πr.72πr2=144r  m2.

Diện tích đáy và nắp hình trụ là πr2  m2.

Chi phí là: 90.144r+100πr2+140πr2=24054r+πr2 (nghìn đồng).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: 54r+πr2=27r+27r+πr2≥327r+27r+πr23=27π3.

Dấu “=” xảy ra ⇔27r=πr2⇔r3=27π⇔r=3π3  m.

Vậy chi phí thấp nhất đạt được khi bán kính đáy hình trụ là 3π3  m