Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đội một vuông góc, OA=a,OB=b,OC=c. Tính khoảng cách d từ O tới mặt phẳng (ABC).

Đáp án A

Gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (ABC) nên OH⊥ABC⇒OH⊥BC1.

Mặt khác OA⊥OB,OA⊥OC⇒OA⊥OBC⇒OA⊥BC2.

Từ (1),(2) suy ra BC⊥AOH⇒BC⊥AH. Chứng minh tương tự ta đượcAB⊥CH. Suy ra H là trực tâm của ΔABC.

Trong mặt phẳng (ABC) gọi E là giao điểm của AH và BC.

Ta có OH⊥ABC⇒OH⊥AE tại H.

OA⊥ABC⇒OA⊥OE tức là OH là đường cao của tam giác vuông OAE.

Mặt khác OE là đường cao của tam giác vuông OBC.

Do đó: 1OH2=1OA2+1OE2=1OA2+1OB2+1OC2.

⇔1d2=1a2+1b2+1c2⇒d=abcb2c2+a2c2+a2b2.