Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh 2a. Biết A' cách đều ba đỉnh A,B,C và mặt phẳng (A'BC) vuông góc với mặt phẳng (AB'C'). Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' tính theo a bằng

Chọn B.

Có A' cách đều ba đỉnh A,B,C nên hình chóp A'.ABC là hình chóp tam giác đều

⇒A'H⊥ABC với H là trọng tâm tam giác ABC.

Gọi O=A'B∩AB',O'=A'C∩AC'. Khi đó A'BC∩AB'C'=OO'.

Lại có trong A'BC,A'I⊥OO' tại J với I là trung điểm BC

Trong AB'C' có AI⊥OO' tại J (có ΔAA'B=ΔAA'C⇒AO=AO' và J là trung điểm OO'

⇒A'BC,AB'C'=A'I,AJ=900, mà ta dễ dàng chứng minh được J là trung điểm A'I hay trong tam giác A'AI thì AJ vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến.

⇒ΔA'AI là tam giác cân tại A hay AA'=AI=a3.

Khi đó: h=A'H=AA'2−23AI2=a32−23a32=a153.

Vậy V=SABC.A'H=2a2.34.a153=a315.