Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có BAC^=1200, BC=AA'=a. Gọi M là trung điểm của CC'. Tính khoảng cách giứa hai đường thẳng BM và AB', biết rằng chúng vuông góc với nhau

Chọn C.

Gọi I là hình chiếu của A trên BC, ta có:

AI⊥BCAI⊥BB'⇒AI⊥BCC'B'⇒AI⊥BM1.

Mặt khác, theo giả thiết: A'B⊥BM2.

Từ (1) và (2) suy ra BM⊥AB'I⇒BM⊥B'I.

Gọi E=B'I∩BM, ta có: IBE^=BB'I^ (vì cùng phụ với góc BIB'^).

Khi đó ΔB'BI=ΔBCMg.c.g⇒BI=CM=a2⇒I là trung điểm cạnh BC⇒ΔABC cân tại A.

Gọi F là hình chiếu của E trên AB'; có EF là đoạn vuông góc chung của AB' và BM

Suy ra dBM,AB'=EF.

Ta có AI=BI.cot600=a2.33=a36;B'I=BB'2+BI2=a2+a22=a52=BM.

IE=BI.sinEBI^=BI.CMBM=a2.a2a52=a510⇒B'E=B'I-IE=2a55.AB'=AI2+B'I'2=a362+a522=2a33.

Mặt khác: ΔB'IA đồng dạng ΔB'FE nên B'AB'E=IAEF⇔EF=IAB'EB'A=a36.2a552a33=a510.

Vậy dBM,AB'=a510.