Cho hàm số y=fx=ax3+bx2+cx+d. Biết rằng đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ là -1, 13, 12. Hỏi phương trình fsinx2=f0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn -π;π

Chọn C.

Vì đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên f(x) là hàm số bậc 3 ⇒a≠0.

Từ giả thiết ta có: fx=ax+1x-13x-12⇔fx=16a6x3+x2-4x+1.

Khi đó: y'=16a18x2+2x-4=0⇔x=-1±7318

Suy ra đồ thị hàm số y=f(x) có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục tung.

Từ đó ta có phương trình fsinx2=f0⇔sinx2=a1∈-1;01sinx2=02sinx2=a2∈12;13

* Giải (1)

Vì x∈-π;π nên x2∈0;π⇒sinx2∈0;1. Do đó phương trình (1) không có nghiệm thỏa mãn đề bài.

* 2⇔x2=kπ.

Vì x2∈0;π nên ta phải có 0≤kπ≤k,π∈Z⇔0≤k≤1,k∈Z⇒k∈0;1.

Suy ra phương trình (2) có 3 nghiệm thỏa mãn là: x1=-π;x2=0;x3=π.

* 3⇔x2=arcsina2+k2πx2=π-arcsina2+k2π, (với arcsina2∈π6;π2).

Vì x2∈0;π nên ta thấy phương trình (3) có các nghiệm thỏa mãn là x=±arcsina2 và x=±π-arcsina2.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.