Cho hình chóp S.ABC có SA=2, SB=3, SC=4. Góc ASB ^=45∘,BSC^=60∘,CSA^=90∘. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAC.

Đáp án D

Gọi M, N lần lượt thuộc cạnh SB,SC sao cho SM=SN=2.

 Tam giác SMN đều ⇒SM=SN=MN=2.

Tam giác SAM có ASM^=45∘⇒AM=22−2. 

Tam giác SAN vuông cân tại S ⇒AN=SA2=22. 

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒SI⊥AMN. 

Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔAMN. Diện tích tam giác AMN là

S=pp−AMp−ANp−MN⇒RΔAMN=AM.AN.MN4S=24−22SΔAMN,

với p=AM+AN+MN2. 

Tam giác SAI vuông tại I, có SI=SA2−IA2=4−R2ΔAMN. 

Ta có VS.AMNVS.ABC=SMSB.SNSC=23.24=13⇒VS.ABC=3VS.AMN⇒dB;SAC=9VS.AMNSΔSAC=32.