Cho hàm số y=x+12x+1 có đồ thị C.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d:y=mx+m+12 cắt đồ thị C tại hai nghiệm phân biệt A, B sao cho OA2+OB2 đạt giá trị nhỏ nhất (O là gốc tọa độ).

Đáp án A

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

       x+12x+1=mx+m+12⇔4mx2+4mx+m−1=0 1

Phương trình (1) có 2 nghiệm xA;xB⇔Δ'=4m2−4mm−1=4m>0⇔m>0.

Khi đó giao điểm của 2 đồ thị là AxA;mxA+m+12;BxB;mxB+m+12 

với xA+xB=−1;xA.xB=m−14m

Ta có OA2+OB2=xA2+mxA+m+122+xB2+mxB+m+122=m2+2m+12m=1+12m+1m≥1+12.2=2

( vì m>0, theo Cauchy ta có m+1m≥2. Dấu bằng xảy ra khi m=1