Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Lấy N,M là trung điểm của AB và AC Tính khoảng cách d giữa CN và DM.

Chọn D.

Gọi P là trung điểm của AN⇒MP//CN,MP⊂DMP⇒CN//DMP

⇒dCN,DM=dCN,DMP=dN,DMP=dA,DMP.

Ta có ABCD là tứ diện đều cạnh a⇒VABCD=a3212.

Ta có VA.DMPVA.DBC=APAB.AMAC=18⇒VA.DMP=18VA.DBC=a3296.

Tam giác ACD đều cạnh a, có M là trung điểm của AC⇒DM=a32.

Tam giác ABC đều cạnh a, có n là trung điểm của AB⇒CN=a32⇒MP=12CN=a34.

Tam giác ADP, có AP=a4,AD=a,PAD^=600.

⇒DP=AD2+AP2-2.AD.AP.cosPAD^=a134.

Đặt p=DM+DP+MP2=a13+338.

⇒SΔDMP=pp-DMp-DPp-MP=a23532

Lại có VA.DMP=13SΔDMP.dA,DMP⇒dA,DMP=3VA.DMPVΔDMP=3.a3296a23532=a7035.

Vậy dCN,DM=a7035.