Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN là:

+ Ta có SAB⊥ABCSAC⊥ABCSAC∩SAB=SA⇒SA⊥ABC

+ Xác định điểm N, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N ⇒ N là trung điểm của AC (MN//BC).

+ Xác định được góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là SBA^=60°

⇒ SA = AB.tan60° = 2a3

AC = AB2+BC2=2a2

+ Gọi IJ là đoạn vuông góc chung của AB và SN (điểm I thuộc AB và điểm J thuộc SN). Vậy khoảng cách giữa AB và SN là IJ. Ta sẽ biểu thị IJ→qua ba vectơ không cùng phương AB→; AC→; AS→.

IJ→=IA→+AN→+NJ→=mAB→+12AC→+pNS→=mAB→+12AC→+pNA→+AS→=mAB→+1−p2AC→+pAS→

Ta có: IJ→⊥AB→IJ→⊥NS→⇔IJ→.AB→=0IJ→.NS→=0 

Thay vào ta tính được m = -6/13; p = 1/13

Do đó: IJ→=−613AB→+613AC→+113AS→. Suy ra

169IJ2=36AC2+36AB2+AS2−72AB→.AC→.

Thay số vào ta tính được IJ = 2a3913.

Vậy d(AB; SN) = 2a3913.

Đáp án D