Cho hàm số y=−x2x+1 có đồ thị là (C) và đường thẳng d có phương trình y=x+m (m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B là lớn nhất?

Đáp án A

Hoành độ giao điểm của (d) và (C) là nghiệm phương trình

−x2x+1=x+m⇔x≠−12gx=2x2+2m+1x+m=0

(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt ⇔Δ'>0g−12≠0⇔m2+1>0,∀m−12≠0

Gọi tọa độ giao điểm của (d) và (C) là Ax1;x1+mBx2;x2+m→Vi−etx1+x2=−m−1x1.x2=m2

⇒2x1+1.2x2+1=−1

Do y'=−12x+12⇒kA=−12x1+12kB=−12x2+12⇒kA+kB=−12x1+12+12x2+12

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

12x1+12+12x2+12≥22x1+1.2x2+1=2⇔kA+kB≤−2

Vậy maxkA+kB=−2⇔2x1+1=−2x2+1⇒x1+x2=−1⇔m=0