Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y=x3−3mx+2 cắt đường tròn tâm I(1;1), bán kính bằng 1 tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12

Đáp án A

Ta có y'=3x2−3m nên y'=0⇔x2=m.

Đồ thị hàm số y=x3−3mx+2 có hai điểm cực trị khi và chỉ khi m > 0

Ta có y=x3−3mx+2=13x3x2−3m−2mx+2=13x.y'−2mx+2.

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y=x3−3mx+2 có phương trình Δ:y=−2mx+2

Ta có SΔIAB=12IA.IB.sinAIB^=12sinAIB^≤12

Diện tích tam giác IAB lớn nhất bằng 12 khi sinAIB^=1⇔AI⊥BI.

Gọi H là trung điểm AB ta có IH=12AB=22dI;Δ

Mà dI;Δ=2m+1−24m2+1

dI;Δ=2m+1−24m2+1=22⇔4m−2=24m2+1⇔8m2−16m+2=0⇔m=2±32.